Homogeneous
Homogeneous란, $f(x) = a_n\frac{\mathrm{d^n} y}{\mathrm{d} x^n} + a_{n-1}\frac{\mathrm{d^{n-1}} y}{\mathrm{d} x^{n-1}} + \cdots + a_1\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + a_0y$ n계 선형 미분방정식에서 아래와 같이 정의
$f(x) = 0$이면 ‘동차(homogeneous)’
$f(x) \neq 0$이면 ‘비동차(inhomogeneous)’
Homogeneous
Homogeneous의 뜻은 “동차”이다. 즉, 차수가 동일하다는 뜻이다.
위에서 정의한 것과 같이 $f(x) = 0$이므로,
$\Rightarrow f(\alpha x) = \alpha f(x) = 0$이고,
$\Rightarrow f(\alpha x) = \alpha^2 f(x) = \alpha^n f(x)$이다.
딱 보면, “$\alpha$의 차수를 확장해도 동질성이 유지되는 애를 ‘Homogeneous하다’ 라고 하구나.” 라고 알 수 있다.
여기서 보면은, $x$ 하나에 대해서 사용하기 때문에 $\alpha$가 그대로 나오지만, 예를들어 $f(x,y) = x^2y^3 + x^3y^2$이라면 아래와 같이 진행된다.
\(\begin{align*}
f(\alpha x, \alpha y) &= \left (\alpha x \right)^2 \left (\alpha y \right)^3 + \left (\alpha x \right)^3 \left (\alpha y \right)^2
\\ &= \alpha^5 \left (x^2y^3 + x^3y^2\right)
\\ &= \alpha^5 \left (f(x,y) \right)
\end{align*}\)
$x, y$에 대해 각각 $\alpha = 2$배를 하면 $f(x)$는 $\alpha^5 = 2^5$ 만큼 scale이 변한다는 뜻이다.
이러한 방식은 Vision에서 Projective Geometry를 다룰때 사용된다. 예를들어, 2D Euclidean space에서는 $\left(x, y \right)$로 나타내었던 좌표를 Projective Geometry에서는 $\left(x, y, 1 \right)$(Homogeneous Coordinate)로 나타내여, $\left(kx, ky, k \right)$와 같은 scale에 대한 동질성을 다룰수 있게된다.